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• Introduzione-

  Nel semibreve ho accennato brevemente al rapporto tra la musica, la sezione aurea e la successione di Fibonacci. ( www.bandadarfo.eu/it/node/3215 ) Prima di sviluppare questo tema ho pensato bene di fare una breve introduzione su di essi e sui loro legami.

  Buona lettura!!  

   Con sezione aurea si indica, solitamente in arte e matematica, un rapporto fra due grandezze disuguali, di cui la maggiore è medio proporzionale rispetto la minore e la loro somma (a+b : a = a : b), oppure il numero corrispondente, approssimativamente pari a

  1,618033989

  trattandosi di un numero irrazionale, infatti, non può essere ridotto ad una frazione generatrice.

  Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali, apparentemente slegati tra loro, hanno impressionato nei secoli la mente dell'uomo, che è arrivato a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell'ambiente antropico quale canone di bellezza; testimonianza ne è forse la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di "aureo" o "divino", proprio a dimostrazione del fascino esercitato.

  Matematicamente il numero aureo corrisponde a una delle due soluzioni dell'equazione quadratica:

  x² − x − 1, tuttavia solo nel XX secolo con il potenziamento delle capacita' di calcolo e l'avvento del computer si sono ottenute stime sempre piu' precise del numero irrazionale arrivando fino al decimilionesimo decimale; tale numero e' riportato qui sotto fino al millesimo decimale:

    1,618033 9887498 9484820 4586834 3656381 1772030 9179805 7628621 3544862 2705260 4628189 0244970 7207204 1893911 3748475 4088075 3868917 5212663 3862223 5369317 9318006 0766726 3544333 8908659 5939582 9056383 2266131 9928290 2678806 7520876 6892501 7116962 0703222 1043216 2695486 2629631 3614438 1497587 0122034 0805887 9544547 4924618 5695364 8644492 4104432 0771344 9470495 6584678 8509874 3394422 1254487 7066478 0915884 6074998 8712400 7652170 5751797 8834166 2562494 0758906 9704000 2812104 2762177 1117778 0531531 7141011 7046665 9914669 7987317 6135600 6708748 0710131 7952368 9427521 9484353 0567830 0228785 6997829 7783478 4587822 8911097 6250030 2696156 1700250 4643382 4377648 6102838 3126833 0372429 2675263 1165339 2473167 1112115 8818638 5133162 0384005 2221657 9128667 5294654 9068113 1715993 4323597 3494985 0904094 7621322 2981017 2610705 9611645 6299098 1629055 5208524 7903524 0602017 2799747 1753427 7759277 8625619 4320827 5051312 1815628 5512224 8093947 1234145 1702237 3580577 2786160 0868838 2952304 5926478 7801788 9921990 2707769 0389532 1968198 6151437 8031499 7411069 2608867 4296226 7575605 2317277 7520353 6139362.

   

  Il raporto di due numeri consecutivi di Fibonacci approssima via via che si procede nella successione in modo sempre migliore la sezione aurea.

  La successione di Fibonacci è una sequenza di numeri interi naturali definibile assegnando i valori dei due primi termini, F₀:= 0 ed F₁:= 1, e chiedendo che per ogni successivo sia F_n := F_n-1 + F_n-2. Il termine F₀ viene aggiunto nel caso si voglia fare iniziare la successione con 0; storicamente il primo termine della successione è F₁:= 1.La sequenza prende il nome dal matematico pisano del XIII secolo Leonardo Fibonacci e i termini di questa successione sono chiamati numeri di Fibonacci. L'intento di Fibonacci era quello di trovare una legge che descrivesse la crescita di una popolazione di conigli. Assumendo che: la prima coppia diventi fertile al compimento del primo mese e dia alla luce una nuova coppia al compimento del secondo mese; le nuove coppie nate si comportino in modo analogo; le coppie fertili, dal secondo mese di vita, diano alla luce una coppia di figli al mese; avremo che se partiamo con una singola coppia dopo un mese una coppia di conigli sarà fertile, e dopo due mesi due coppie di cui una sola fertile, nel mese seguente avremo 2+1=3 coppie perché solo la coppia fertile ha partorito, di queste tre ora saranno due le coppie fertili quindi nel mese seguente ci saranno 3+2=5 coppie, in questo modo il numero di coppie di conigli di ogni mese descrive la successione dei numeri di Fibonacci.

  I primi 41 numeri di Fibonacci sono:
  0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 (=F₁₀),
  89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 (=F₂₀),
  10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040 (=F₃₀),
  1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986, 102334155 (=F₄₀)

  Esiste un giochino matematico che è legato alla serie di Fibonacci e tramite queste al numero aureo.Nella versione più comune si chiede di scegliere due numeri a caso non eccessivamente elevati, che si possono facilmente computare a mente, ad esempio:456 e 954 si chiede poi di sommarli, e a questa somma di aggiungere poi il maggiore, e cosi via, sommando sempre alla nuova somma, il valore della precedente1410; 2364; 3774; 6138, 9912; 16050; 25962; 42012 ... fermandoci poi dopo un certo numero di iterazioni, se questo è sufficientemente adeguato, avremmo che il rapporto fra gli ultimi due numeri è pari vicino a 1,618, i primi numeri della serie di Fibonacci; normalmente si anticipa già il numero della prime tre cifre, conoscendolo già, oppure si fa una previsione scrivendola sua un foglietto in precedenzaQuesta proprietà, che normalmente suscita stupore in chi non ha dimestichezza con la matematica, è semplicemente dovuta all'emergere della serie di Fibonacci nella sommatoria continua.